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数学教学

“反例”在数学课堂中的应用

时间:2017/10/3 21:48:13   作者:小刁   来源:www.jiaoyulw.com   阅读:496   评论:0
内容摘要:  数学中的反例就是一个例子,它的效果就是拿来说明某个结论是错误的。它只能满足命题的条件,却不能满足命题的结论。这样的例子叫做反例。例子说,有这样的一个命题:我们班所有的同学都喜爱上数学课。那么我们应该怎样说明这句话是错误的呢?怎样去寻找说明这句话是错误的反例呢?我们只需要找一个...

  数学中的反例就是一个例子,它的效果就是拿来说明某个结论是错误的。它只能满足命题的条件,却不能满足命题的结论。这样的例子叫做反例。例子说,有这样的一个命题:我们班所有的同学都喜爱上数学课。那么我们应该怎样说明这句话是错误的呢?怎样去寻找说明这句话是错误的反例呢?我们只需要找一个班上的同学,但他又不喜爱上数学课的同学。也就是“一个不爱上数学课的班上同学”成为这个命题的反例,在学生进行数学几许证明过程中,举反例的方法和证明的方法都是我们平常常用的两种方法,举反例是我们正面无法证明时很好的一种补充方法。证明就是用一句正确的话,去推出另一句话也是正确的。可是,反例是用一句正确的话,去说明另一句话是错误的。事物和事物之间的联系都能用这两种方法来推理。美国数学家盖尔鲍姆说过,不断提出证明和举出反例的过程就是学习数学的过程,它决定了数学开展的两个主要方向。

  在数学课堂上要想让学生学得好,除了正面的证明,也要运用举反例的方法帮助学生从另一个方面进行正确了解。它也是我们平常教育过程中常常用到的方法,它能够让学生很轻松地理解书本所学知识。能够更好地解读性质、定理,把握好数学,提高学生的解题能力。

  接下来,我们将从反例的组成、反例在数学课堂的应用、反例对学生推理能力培养、举反例要重视的问题来进行说明。

  一、反例的组成

  我们只需通过紧密的推理证明,能说明一个结论是正确的;可是要说一个结论是错误的,只需找到举一个反例就能够了。平常在课堂上,我们可直接举一个契合该命题的反例,就能够说明这一句话是错误的,不要通过冗杂的证明过程,然后更容易了解该结论。

  那反例怎样找呢?是不是随意找一个例子都是反例呢?这就要求所找到的例子有必要一个契合命题的反例,也就要求学生必需通过多种的考虑,还有以往经历的积累,反例不是很容易就能呈现的。要想得到反例,分析命题的条件是有必要的。例如:相等的角是对顶角,这个命题的条件是什么呢?两个相等的角,然后引导学生发现,所有相等的角当中未必都是对顶角。

  在初中数学学习中,我们要学习很多概念。若给出一个概念的界说,然后判别它对不对,我们常常需要从命题的条件下手分析来寻找反例。反例是一种简单又好用的判别命题错误的方法,它也能够提高学生逆向思想,又能帮助学生正确了解界说、性质。反例是我们在证明过程中完美的补充,它也是一种数学证明方法。

  二、反例在数学课堂中的应用

  在我们初中数学课堂上,应用反例对我们数学课堂教育有什么帮助呢?

  1. 帮助我们正确全面地理解数学概念

  当我们解读某个数学的概念给学生听时,除了进行正面的了解外,有的时候还要从反过来,找到一个合适该数学概念的反例来帮助说明概念的意义,让学生更容易地理解此概念。

  例1. 在学习函数的概念时,有一小部分学生是这样想的:只需有改变而改变,这种联系就是函数联系,怎样让学生正确了解函数的概念呢?我们能够提出以下两个问题:

  (1)人的身高与体重成函数联系吗?

  (2)若y=x2,则y是x的函数吗?

  笔者以为很多学生会以为人的身高与体重构成函数联系。由于人长大了,体重也就增加了。所以,人的身高与体重有联系,只需有联系那就是函数联系。此刻,我们能够问学生,当你13岁这一年中,你的体重是不是都不变呢?你能判定吗?通过这样的反例,让学生发现,尽管人的身高和体重有联系,可是当人体重断守时,人的身高有可能不仅有,即当自变量(人的体重)发生改变时,因变量(身高)没有彻底仅有的值和它对应,因而不契合函数的界说。然后加深了对函数的知道。而(2)中学生会说:y不是x的函数,由于当x=±1时,y=(±1)2=1,因变量y不随x的改变而改变(其时,y值都是1),此刻我们能够问学生当断守时,仅有吗?其实对每一个给定x的值,当x改变时,尽管y的值有时不变。但仍是有仅有判定的值和它对应,由此知道到y是x的函数,并非一定要求y随x的改变而改变,而是对每一个给定x的值,y都有仅有值和它对应。什么是函数联系?通过所举两个反例的学习,他们就把握了函数联系的实质。

  课堂上,当我们在教育生学习概念、定理、公式一时,常常发现学生对一些关键句不行了解,而是强行回忆概念、定理、公式,并没有真正地理解。成果遇到与概念、定理、公式有点类似的,就容易形成混杂。

  例2. 关于矩形、菱形、正方形的判定它们内容很附近,这就容易让他们搞不清楚。因而,在数学课堂教育中,我们能够让他们彼此多举一些这样反例,以便更好地强化对判定的了解。

  例3. 当我们在学习矩形、菱形、正方形时,它们之间有很多性质,并且它们之间既有差异,又有联系。 这时学生就很容易发生错误 例如把矩形的性质说成对角线相互笔直这样的错误等等。当我们碰到这种状况时,我们能够先让学生上黑板画一个长方形(非正方形),然后叫他们用尺子比一比,看看它们的对角线是否相互笔直。通过这样的反例,学生很容易就能发现这是不对的。然后使他们全面、深刻地理解所学知识。因而,当所学相关知识较多时,我们能够通过让学生举一些反例帮助了解。

    3. 培养思想的发散性

  在数学课堂上,能够应用反例大大丰富课堂教育。由于反例的组成不是仅有的,所以我们能够充分调动学生多多地举出反例。然后调动了数学课堂气氛,充分打开幻想,也让学生的发散性思想得到充分发挥和练习。

  反例常常用于否定错误的命题。在平面几许学习中,我们往往通过对比来发现一些错误的命题,这就需要用到反例来否定这些错误的命题。

  例14. 我们可能会把“所有的正方形都会类似”的结论移植到矩形中,误以为“所有的矩形都会相似”。此刻就能够结构反例:一个矩形长为3,宽为2;另矩形长为4,宽为5,明显两个矩形长和宽不会成份额。可见,所有的矩形都会类似这句话是错误的。

  四、举反例要重视的问题

  反例尽管在我们数学课堂上广泛运用,但在课堂教育中,运用反例时还要注意一些小问题:

  1. 注意主次。在正常的上课过程中,我们学习概念、定理和规律,一般是以书本上的证明为主。而举反例的方法仅仅一种辅佐方法,只需能运用它否定错误的命题就能够了,不必要学太深。2. 注意恰当。反例的选择不是随随便便的,它既要合适又能说明问题。不要花很多时间找来一大堆无效的反例。这样不仅没用,又容易让学出产失利感。不一样的知识点,所用到的反例也不一样,要求也不一样。合适的反例才是最好的反例。

  关于中学生来说,解题是他们有必要把握的数学能力。通过解题,能够考察他们对知识的把握状况。而反例能很好地帮助学生解题。它很好地辅佐了我们的课堂教育。因而,我们在引导学生做数学题时,除了让他们学会从正面寻找解题的出路,也要让他们学会用反例的方法来证明,然后更好地提高学生的综合解题能力。


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