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数学教学

一般参数与自然参数概念“构建论述”

时间:2017/11/27 8:43:35   作者:小刁   来源:www.jiaoyulw.com   阅读:802   评论:0
内容摘要:一、对一般参数和自然参数概念的研究及它们的关系  微分几何学以润滑曲线(曲面)作为研究目标,所以整个微分几何学是由曲线的弧线长、曲线上一点的切线等概念展开的。已然微分几何是研究一般曲线和一般曲面的有关性质,则平面曲线在一点的曲率和空间的曲线在一点的曲率等,就是微分几何中重要的讨论...
一、对一般参数和自然参数概念的研究及它们的关系

  微分几何学以润滑曲线(曲面)作为研究目标,所以整个微分几何学是由曲线的弧线长、曲线上一点的切线等概念展开的。已然微分几何是研究一般曲线和一般曲面的有关性质,则平面曲线在一点的曲率和空间的曲线在一点的曲率等,就是微分几何中重要的讨论内容,而要核算曲线或曲面上每一点的曲率就要用到微分的方法。微分几何中最基础的就是三维欧氏空间的曲线和曲面问题,在曲线论和曲面论中经常会遇见自然参数和一般参数,所以一般参数和自然参数对微分几何是非常重要的基础知识。大多初学者搞不清楚一般参数和自然参数有什么关系,它们有什么效果,在实践做题中究竟怎样处理。

  假定一般参数定义为:r(t)={x(t),y(t),z(t)},t∈[a,b]

  上式称为曲线C的参数方程,t称为曲线C的一般参数,上式中的t不具有几何含义,而且依照参数添加的方向自然地断定了曲线C的正向,弧长参数S为:S=dt,它表明曲线C从r(a)到r(t)之间的长度,以下还假定曲线C的坐标函数都具有三阶接连导数,也就是曲线具有三阶导,即在某种含义上它们是有关系的,我们是通过曲线的一般参数求出某段曲线的弧长,使s用t表明,而且要契合自然参数的条件,才能够把一般参数转化为自然参数,而且两条曲线能够在一个刚体运动下互相重合的充要条件是它们的弧长相同,而且曲率和挠率作为弧长的函数也对应地相同。换句话说,就是一般参数与自然参数的概念是有关系的,我们是先定义一般参数,然后再定义自然参数。

  二、一般参数与自然参数在空间基本三棱形(伏雷内标架)中的应用

  在微分几何中,为了讨论恣意曲线上每一点邻域的性质,常常用所谓“活动标形的方法”。对恣意曲线的“小范围”性质的研究,还能够用拓扑改换把这条曲线“转化”成初等曲线进行研究。在微分几何中,由于运用数学分析的理论,就能够在无限小的范围内省略高阶无穷小,一些复杂的依靠关系能够变成线性的,不均匀的过程也能够变成均匀的,这些都是微分几何特有的研究方法。也就是说,研究微分几何最基本的就是要学好数学分析。曲线和曲面的一般方法是在其上建立笛卡尔直角坐标系,能够是曲纹坐标系,也能够是其它坐标系,然后运用代数运算微分积分以及微分方程等东西来研究它们的性质。坐标系是附加在空间上以便于用代数手法表明和研究几何目标的一种结构,几何目标的性质与坐标系的选取是无关的,不同的参照系给出不同的部分坐标,恰当的坐标系能够简化运算。先了解一下空间曲线的基本三棱形,曲线C的参数方程为r=r(s),S是弧长参数,p(s)是曲线C上参数为S即向径为r=r(s)的一个定点,给C类曲线和上一点P,曲线的自然参数为r=r(s),曲线的切向量设为a==,α称为曲线点P上的切向量,又由于自然参数|(t)|=1,因而|α|=1。很显然,⊥α即⊥,在上取单位向量β==,β为曲线上的主法向量,我们在做向量γ=α×β,γ称为曲线上的副法向量,把两两正交的α、β、γ成为上点的伏雷内标架,α、β、γ按此次序构成右手,因而能够定出法平面、亲近平面、从切平面、主法向量、副法向量和切向量之间的关系。
  
  我们从伏雷内标架能够看出,自然参数的表达式只与曲线自身有关,与刚体运动及空间坐标无关。但一般参数就不一样了,自然参数有利于我们研究微分几何中曲线和曲面,自然参数对研究微分几何中理论问题的重要性,在求解过程中,我们能够凭借伏雷内标架,通过它们之间的关系来灵敏求解。由于我们研究的是欧氏几何,伏雷内标架能够将无限化为有限来处理,便于实践操作。后边还要学习空间曲线的曲率和挠率,空间曲线论的基本公式和基本定理,空间曲面的第一、第二基本形式,法曲率和渐近线。对坐标的研究就是为了更容易地研究空间的曲线和曲面,特别是特别的曲线与曲面有清楚的空间方位、形状、曲率、挠率,这样在学习微分几何时,就能够用向量分析方法来处理,然后到达数与形的一致,一致的数量与空间的观念,然后处理微分几何中的问题。  一、对一般参数和自然参数概念的研究及它们的关系

  微分几何学以润滑曲线(曲面)作为研究目标,所以整个微分几何学是由曲线的弧线长、曲线上一点的切线等概念展开的。已然微分几何是研究一般曲线和一般曲面的有关性质,则平面曲线在一点的曲率和空间的曲线在一点的曲率等,就是微分几何中重要的讨论内容,而要核算曲线或曲面上每一点的曲率就要用到微分的方法。微分几何中最基础的就是三维欧氏空间的曲线和曲面问题,在曲线论和曲面论中经常会遇见自然参数和一般参数,所以一般参数和自然参数对微分几何是非常重要的基础知识。大多初学者搞不清楚一般参数和自然参数有什么关系,它们有什么效果,在实践做题中究竟怎样处理。

  假定一般参数定义为:r(t)={x(t),y(t),z(t)},t∈[a,b]

  上式称为曲线C的参数方程,t称为曲线C的一般参数,上式中的t不具有几何含义,而且依照参数添加的方向自然地断定了曲线C的正向,弧长参数S为:S=dt,它表明曲线C从r(a)到r(t)之间的长度,以下还假定曲线C的坐标函数都具有三阶接连导数,也就是曲线具有三阶导,即在某种含义上它们是有关系的,我们是通过曲线的一般参数求出某段曲线的弧长,使s用t表明,而且要契合自然参数的条件,才能够把一般参数转化为自然参数,而且两条曲线能够在一个刚体运动下互相重合的充要条件是它们的弧长相同,而且曲率和挠率作为弧长的函数也对应地相同。换句话说,就是一般参数与自然参数的概念是有关系的,我们是先定义一般参数,然后再定义自然参数。

  二、一般参数与自然参数在空间基本三棱形(伏雷内标架)中的应用

  在微分几何中,为了讨论恣意曲线上每一点邻域的性质,常常用所谓“活动标形的方法”。对恣意曲线的“小范围”性质的研究,还能够用拓扑改换把这条曲线“转化”成初等曲线进行研究。在微分几何中,由于运用数学分析的理论,就能够在无限小的范围内省略高阶无穷小,一些复杂的依靠关系能够变成线性的,不均匀的过程也能够变成均匀的,这些都是微分几何特有的研究方法。也就是说,研究微分几何最基本的就是要学好数学分析。曲线和曲面的一般方法是在其上建立笛卡尔直角坐标系,能够是曲纹坐标系,也能够是其它坐标系,然后运用代数运算微分积分以及微分方程等东西来研究它们的性质。坐标系是附加在空间上以便于用代数手法表明和研究几何目标的一种结构,几何目标的性质与坐标系的选取是无关的,不同的参照系给出不同的部分坐标,恰当的坐标系能够简化运算。先了解一下空间曲线的基本三棱形,曲线C的参数方程为r=r(s),S是弧长参数,p(s)是曲线C上参数为S即向径为r=r(s)的一个定点,给C类曲线和上一点P,曲线的自然参数为r=r(s),曲线的切向量设为a==,α称为曲线点P上的切向量,又由于自然参数|(t)|=1,因而|α|=1。很显然,⊥α即⊥,在上取单位向量β==,β为曲线上的主法向量,我们在做向量γ=α×β,γ称为曲线上的副法向量,把两两正交的α、β、γ成为上点的伏雷内标架,α、β、γ按此次序构成右手,因而能够定出法平面、亲近平面、从切平面、主法向量、副法向量和切向量之间的关系。

  我们从伏雷内标架能够看出,自然参数的表达式只与曲线自身有关,与刚体运动及空间坐标无关。但一般参数就不一样了,自然参数有利于我们研究微分几何中曲线和曲面,自然参数对研究微分几何中理论问题的重要性,在求解过程中,我们能够凭借伏雷内标架,通过它们之间的关系来灵敏求解。由于我们研究的是欧氏几何,伏雷内标架能够将无限化为有限来处理,便于实践操作。后边还要学习空间曲线的曲率和挠率,空间曲线论的基本公式和基本定理,空间曲面的第一、第二基本形式,法曲率和渐近线。对坐标的研究就是为了更容易地研究空间的曲线和曲面,特别是特别的曲线与曲面有清楚的空间方位、形状、曲率、挠率,这样在学习微分几何时,就能够用向量分析方法来处理,然后到达数与形的一致,一致的数量与空间的观念,然后处理微分几何中的问题。

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