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数学教学

指向学生数学理解的数学实验

时间:2022-05-18 16:11:32   作者:张伟   来源:www.jiaoyulw.com   阅读:355   评论:0
内容摘要:数学实验是一种基于学习历程的探索与建构。小学阶段开展数学实验,可以帮助学生经历情境、探索问题,合理开展数学学习中的各项探究活动,进一步丰富小学生对数学知识与规律的深刻理解,加深对数学新知识产生、形成和发展的深度体验。
  摘   要  数学实验是一种基于学习历程的探索与建构。小学阶段开展数学实验,可以帮助学生经历情境、探索问题,合理开展数学学习中的各项探究活动,进一步丰富小学生对数学知识与规律的深刻理解,加深对数学新知识产生、形成和发展的深度体验。
  
  美国数学家哈莫斯认为:“问题是数学的心脏,问题解决是数学思维的核心。”数学实验作为数学教育发展的产物,是一种以问题解决为途径的教学方式与手段,受到人们越来越多的重视。郭庆松认为:“数学实验是在数学思想和数学教学理论指导下,小学生借助实物和工具,通过对实验素材进行‘数学化’的操作来验证数学结论、建构数学概念、探索数学规律、解决数学问题的一种数学学习方式。”[1] 数学课程标准明确指出,数学学习既要关注学生知识与技能的获得,也要关注数学思考、问题解决与情感态度的同步发展。学生作为主体参与学习,不再只是为了积累知识、获得数学技能,也要经历观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动,发展合情推理和演绎推理的能力,不断深入体会数学的基本思想和思维方式。不难看出,在小学阶段开展数学实验,有助于落实新课程理念与学科精神,进一步丰富小学生对数学知识与规律的深刻理解,加深对数学新知产生、形成和发展的深度体验,引导学生进行发现学习、认知学习,实现知识结构与认知结构的双重建构。
  

  一、兼顾过程与教学结果的数学实验

  
  “重视过程与重视结果”是个老生常谈的问题,随着课程改革的推进,教师的认识已发生了较大转变,课堂教学也出现了积极变化,不再只唯结果或唯过程,而是努力做到兼顾。然而,在具体实践层面,真正能做到“处理好过程与结果的关系”的教师却不多。作为人脑对客观世界的主观反映,知识通常可以分为陈述性知识和程序性知识,这两者有共同之处,即都是显性知识,本质上都是结果性知识。不同之处在于陈述性知识更多反映事实与结果,而程序性知识则是规则与顺序。除此之外,伴随着教学过程的展开,学生还会获得一类以体验感悟为主要特点的体验性知识,包括对知识产生、发展、理解、联系、应用等方面的体验与体悟, 这是一种隐形知识,也可以称之为过程性知识。
  
  显然,良好而完整的数学教学理应将结果性知识与过程性知识融通结合,在有限的课堂教学中做好教学设计,让学生既获得结果性知识(即数学的基础知识与基本技能),又获得过程性知识(即了解理解知识产生的来龙去脉,形成数学活动体验,积累相关经验),对提升学生数学思维及数学素养大有裨益。
  
  比如在教学苏教版《数学》四年级下册“三角形内角和”时,对三角形内角和是 180°这一结果性知识, 如果仅仅通过有意义传授的教学方式,可能学生很快就能记住知识的结果,加以练习后也能熟练准确地运用以解决问题。但是学生对知识产生源头的好奇、对知识所蕴含规律的理解却相当缺乏,这样的教学设计难以有效培养学生数学基本思想,积累数学基本活动经验。从数学实验教学的角度出发,我们可以先提供组学习材料(任意几个三角形纸片和一副三角尺)给学生,让学生回顾三角形的特征,整理上节课三角形三边关系的研究历程与研究方法,从而自然引领学生进入新的学习内容,即继续研究三角形三个角中蕴含的规律。接着通过师生交流,形成实验方案:①操作: 通过“量”“算”“折”“剪”“拼”等具体活动,得出每个三角形的内角和;②记录:汇总记录实验操作的数据, 形成完整的表格;③观察:通过观察数据,得出发现;④总结:归纳得出的发现,形成初步结论;⑤论证:通过任意举例验证及寻找反例,完善不完全归纳法得出的初步结论,形成最终的实验结论;⑥交流:畅谈实验结论(三角形内角和为 180 度)的价值及可能的应用。以上借助数学实验进行的教学设计,其目的不仅仅是积累知识,而是培养学生成为知识的探索者,努力发展学生探索问题、研究问题及解决问题的能力。
  

  二、合理融通直观与抽象的数学实验

  
  由于数学学科知识存在抽象性,所以对以形象思维为主的小学生而言,数学概念、规则的理解内化比较困难。数学实验教学是将抽象理论变得直观化、可视化的一种教学方式,其过程是学生在教师的引导下,亲身经历一个概念、规则的形成过程,通过动作思维和逻辑思维感悟知识发生过程、理解知识结果 [2]。为了达成以上教学目的,教师在具体教学时,可以创设学生熟悉的生活情境,并借助问题解决的形式逐一展开,通过数学实验的开展逐步揭示数学概念,手脑口并用,多感官参与,从而实现直观与抽象的融通。
  
  比如教学苏教版《数学》三年级上册“分数的认识(一)”时,学生通过例题分蛋糕,初步认识了蛋糕的二分之一( 1/2 ),头脑中朦胧建立起分数概念后,为了加深学生对分数意义的内化理解,可以开展创造分数 1 的数学实验活动。具体做法为:①操作:给学生提供数学实验素材(同样的长方形纸片),让其通过折纸创造出这张纸的 1 来;②观察:为什么四种方式都表示出了这张纸的 1(如图 1);③交流:怎么得到分数 1/2的?为什么这样的操作,就能得到这张纸的 1/2 ,四种方法间的共同点是什么?④思考:还有其他的操作方法吗? 还能怎样创造?(如图 2,只要过长方形纸的中心折纸,都能平均分成 2 份,其中的一份就可以表示为这张纸的 1/2 );⑤总结:分数是如何产生的?(师生共同归纳出分数的意义)
  
  指向学生数学理解的数学实验
  
  以上的数学实验教学,将知识形成的过程及背后的思考,以直观、形象的方式展现出来,通过数形结合充分体现了分数这一抽象概念下的丰富内涵,体现了做中学”所特有的学习价值,帮助学生更深刻地理解数学知识的实质。对学生而言,类似数学实验的开展, 让学生动手操作、动脑思维,获得的知识会更加牢固地融入到已有的知识结构中去。
  

  三、深化认识归纳与演绎的数学实验

  
  波利亚曾经指出:“数学有两个方面,一方面它是欧几里得式的严谨科学,从这个方面来看,数学像是一门系统的演绎科学,但另一方面,创造过程中的数学, 看起来却像是一门试验性的归纳科学。”[3] 事实上,归纳与演绎是数学学习过程中两种基本的思维方式,数学学习通常是经过示例观察,从简单、具体、特殊的研究中,发现并总结出一般结论,然后再演绎应用到解决问题上,或者作为后续演绎推理的理论支撑。两者相辅相成,有机结合,共同促进学生推理能力的提高,推动学生数学素养的发展。
  
  但在具体教学实践层面,如何有效帮助学生认识归纳与演绎两种思维方式是不容易的。究其原因,一方面是因为归纳与演绎的方法与经验往往隐匿于显性知识之下,不易体悟与理解。另一方面,学生受年龄及心理发展特征影响,元认知能力及逻辑推理能力尚处于发展之中,需要不断积累,悉心培养。所以,需要教师进行巧妙的教学设计,从而促使以上学习目标的达成。
  
  如在教学苏教版《数学》三年级下册“小数的初步认识”时,可以设计两种不同的数学实验教学,培养学生归纳和演绎的能力。
  
  一是归纳的方式。出示生活中的小数,如 0.1 元、0.3 元、0.2 米、0.7 米等。学生根据已有生活经验,能明白 0.1 元是 1 角,0.3 元是 3 角,0.2 米是 2 分米,0.7 米是 7 分米。再引导学生结合情境,开展数学实验,利用学习材料(表示 1 元的正方形纸,表示 1 米的长纸条)将这些小数表示出来。通过观察与交流,发现这些一位小数的共同点(都是用零点几来表示),总结归纳出共同的原因,也就是这儿的零点几都表示 10 等份中的几份,与之前学过的十分之几含义上是一样的,从而理解零点几是一位小数,是分母为 10 的另外一种形式的分数。
  
  二是演绎的方式。先回顾计数器的使用,通过拨珠操作帮助学生回忆整数学习时的十进制计数法。组织学生动手操作,拔出不同数位上的珠子,说 一说具体的含义,进一步认识相邻计数单位间的规则,即“满十进一”与“退一当十”。接着交流个位上的珠子可以“退”吗?“退”到什么数位上去呢?个位上的 “退一”当做“几”呢?为什么也“退一当十”?可以用 2小数来记录吗?个位右边的数位的意义是什么?计数单位是多少? 结合以上数学思考开展的数学实验,将演绎的过程设计成可观察、可交流、可重复的教学行为。
  

  四、建构知识结构与认知结构的数学实验

  
  传统的数学教学观认为,数学学习只是智力活动开展数学实验比较浪费时间,即使需要,充其量也是“纸上谈兵”或“思想实验”而已。因此弗莱等塔尔曾 容的指出:“要实现真正的数学教育,必须从根本上以不同 出的方式组织教学,否则是不可能的。在传统的课堂里再创造方法不可能得到自由的发展。它要求有个实验室,学生可以在那儿个别活动或小组活动。”[4] 这也就指出了,作为教学重要方式的数学实验,要体现出独特的教学价值,即活动化与操作化、探索性与复制性的特征。教师要重视学生在数学实验活动中的主体地位,创设“问题— 实验— 交流— 总结”的研究模式,让学生始终保持积极主动、乐于探究、动手动脑、讨论交流、学思并进的状态,在建构知识系统的同时学会学习,进一步完善认知结构。
  
  比如,教学苏教版《数学》三年级上册“两三位数除以一位数”时,教材上呈现了两个例题(如图 3),并出现了两道除法算式:46÷2,52÷2,我们可以充分发挥学生的学习主体作用,让学生经历合理有趣的数学实验,先行尝试、实际操作、自主调整、建立认知,从而帮助学生深刻理解算理,掌握除法竖式算法。
  
  指向学生数学理解的数学实验
  
  第一次实验:操作小棒发现,解决 46÷2 时存在两种分法,即先分 4 个十,再分 6 个一;也可先分 6 个一,再分 4 个十。两者皆可,皆合理,最后得出的结果都是 23。
  
  第二次实验:操作小棒发现,解决 52÷2 时,也存在两种分法,即先分 5 个十,再分 2 个一;也可先分2 个一,再分 5 个十。但是通过实验操作后的比较与交流,发现两种分法上存在难易与繁简的区别:即先分 5 个十,会余下 1 个十,将其与 2 个一合起来,得到12 个一,接着分,这样比较方便。结合除法竖式,在明确数学表达应有序有理的基础上,学生最终达成共识“从高位算起更方便”,完成了“知其然,更知其所以然”的认知提升。
  
  综上所述,随着数学教育的不断发展,作为课程内容的数学实验,体现出了新时代育人的独特价值,体现出了返璞归真的现代教育理念,建构出一种学生可以充分参与、积极体验、深刻理解的学习方式。

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