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大学教学

“情估计法”在大学数学教学中的应用

时间:2017/9/15 8:49:32   作者:小刁   来源:www.jiaoyulw.com   阅读:448   评论:0
内容摘要:  合情估计法(PEM)就是通过观察分析,对问题给以定性或粗略估计的一种方法(口语相当于毛估估法),教学实践中属于启发式教学法,在大学数学教学中具有广泛的应用。一般通过观察分析(审题),根据经验(已学的基础知识等)或特例或抽象性质具体化等,对问题给出合情(毛估估)处理的方法。合情...

  合情估计法(PEM)就是通过观察分析,对问题给以定性或粗略估计的一种方法(口语相当于毛估估法),教学实践中属于启发式教学法,在大学数学教学中具有广泛的应用。一般通过观察分析(审题),根据经验(已学的基础知识等)或特例或抽象性质具体化等,对问题给出合情(毛估估)处理的方法。合情估计法也凭借观察法,观察分为直接观察和直接观察,题前观察(审题)、题中观察以及题后观察(相似验证)或彼此结合综合分析应用。从推理视点分析,合情估计法属于合情推理方法,不能替代紧密的推导,仅仅给出处理问题的启示,问题的处理有必要采用演绎等谨慎的数学推理方法(即证明推理);可是合情估计法捉住了事物的本质、问题的核心,有其处理问题的内涵逻辑(合情)。本文主要通过一些案例,初步探索合情估计法在大学数学教学中的应用。

  印象比较深的是,大学高等数学期中测验的一道题,需要利用微分的近似计算给出的近似值。有同学给出近似值为0.98,挨近1,相差较大。如果事前根据合情估计法,大致确定接近,其真值在0.5左右,乃至进一步根据单调性应该小于0.5,那么就知道演算过程一定出错了。再如,如果计算得出一个人的步行速度为100公里/小时,那就不符合常理了(除非是超人),可能计算方法或过程有误。因而,在我们的大学数学教学中,有必要系统引进合情估计法,一方面可以提升学生的认知能力,下降部分知识点的学习难度(特别是数学分析等学习曲线较陡的课程);也能启示学生的学习思维,激起学生的学习爱好,加强与学生的互动,达到积极课堂气氛,提升课堂教学作用。

  一、客观题直接采用合情估计法

  (一)设 ,则 .

  答案为 ,该题的关键是要应用导数的定义求极限(合理)。如果考虑到两点间函数的变化率问题,结尾减起点,很容易(合情)得出答案。在学过洛必达规律求极限后,根据合情估计法,假定该函数满足洛必达规律的条件,所以应用该规律马上得出答案。

  该解法不谨慎(洛必达规律仅仅充分条件),如果如上采用倒向洛必达规律,那也只能属于合情估计法领域。

 

  (二)设 二阶接连可导,且 ,则 .

  (A) 是极小值 (B) 是极大值

  (C) 是转点 (D) 不是极值, 也不是转点

  该题应选择(C)。分析:最容易的合情估计法见前述,这儿我们再考虑采用倒向洛必达规律(属合情估计法)。事实上,由题意马上得到: 为函数的一个驻点,且由保号性定理得到在的邻域内函数单调递加无极值;再由倒向洛必达规律得到 ,因而是函数的一个转点。该题正确解法(合理)如下:由洛必达规律得到 ,所以

  2 、设 二阶接连可导,且 ,则 .

  (A) 是极小值 (B) 是极大值

  (C) 是转点 (D) 不是极值, 也不是转点

  三、正项级数的比较审敛法

  我们先给出正项级数比较审敛法的比较基准(Benchmark)级数(或称参照物)之一, -级数的敛散性。

  (一)判别级数 的敛散性.

  分析:考虑到 ,因而采用合情估计法,该级数应与 在1到2之间的 -级数同态(同敛散),因而容易起见,取参照基准级数为 =3/2的 -级数比较,成果原级数收敛。

  (二)设非负函数 的某一邻域内二阶接连可导,且 ,试证明:级数 收敛.

  (至此,采用合情估计法分析: ,所以我们通过合情估计法找到了参照基准级数为 )

  由于 ,

  所以两级数同态,或许(相对基准级数)原级数低态,因而级数 收敛.

  四、广义积分的比较判别法

  (一)瑕积分 与基准积分的 -积分 同态,严格的推导采用比较判别法。

  (二)计算I= .

  解:I= + = -

  (分析:如果上述瑕积分收敛,则I=0.一般地,判别瑕积分 的敛散性时,如果不能应用合情估计直接法直接得到 ,那么可通过合情估计直接法来定 。可是该法往往比较复杂,由于基准积分 -积分的定法,需采用比较判别法通过洛必达规律,事后来定 以及考虑三态等。特别地,如果假定需判别的积分收敛,最容易的方法可事前选取 =1/2;如果假定发散,最容易的方法可选取 为1或3/2或2。本题根据合情估计法直接得到,应选取为1/2。)


  考虑 ,得到 (更)收敛(低态),

  因而,I=0.

  合情估计法,作为启发式教学法,学生比较容易了解容易承受。我们知道,数学名词分为专业术语(formal)和口语(informal),如收敛、发散以及可导等就是专业术语,而有无极限、极限存在与否乃至广义存在与否以及有无导数等都是口语化的数学术语。作为专业术语的“合情估计法”,在教学实践中,可采用口语化的数学术语“毛估估法”(“姓毛名估估”)替代;对学习大学数学的学生,特别是作为通识基础课的高等数学学习的大一学生而言,相对容易了解和承受。近几年,我们也把合情估计法(毛估估法)具体运用到了教学实践中,效果相当不错。

  “最重要的知识是关于方法的知识”。通过前述一些案例,我们初步探索了合情估计法在大学数学教学中的应用,还有许多相似的教学案例,需要我们不断发现总结以及丰富提炼。建议在我们的大学数学教学中,系统引进合情估计法(毛估估法),一方面可以提升学生的认知能力,下降部分知识点的学习难度(特别是数学分析等学习曲线较陡的课程);另一方面,也能进一步启示学生的学习思维,激起学生的学习爱好,加强与学生的互动,积极课堂气氛,提升课堂教学作用,并且丰富我们的教学内容,拓宽我们的教学方法论,然后可以不断提升我们的大学数学教学质量。


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